Αινίγματα 30 Ιουλίου, 2021 – Δημοσιεύτηκε σε: ΘΕΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

1. «Ο Γιώργος έχει περισσότερα από χίλια βιβλία», λέει η Ελένη. «Όχι», λέει ο Δημήτρης. «Έχει το πολύ χίλια βιβλία». «Σίγουρα έχει τουλάχιστον ένα βιβλίο», λέει η Μαρία. Αν μόνο μία πρόταση είναι αληθής, πόσα βιβλία έχει ο Γιώργος;

 

2. Τρεις αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι κοιμούνται κάτω από ένα δέντρο. Ενώ κοιμούνται, ένα σκανταλιάρικο αγόρι μουντζουρώνει τα πρόσωπά τους με καρβουνόσκονη. Ξυπνώντας, βάζουν όλοι τους τα γέλια, ο καθένας τους πιστεύοντας ότι οι άλλοι δύο γελάνε ο ένας εις βάρος του άλλου. Ξαφνικά ο ένας από τους τρεις παύει να γελάει. Πώς κατάλαβε ότι και το δικό του πρόσωπο είναι μουντζουρωμένο;

 

3. Το παρακάτω πρόβλημα αποδίδεται στον Edouard Lucas, έναν Γάλλο μαθηματικό του 19ου αιώνα: «Κάθε μέρα στις 12 το μεσημέρι», είπε ο Lucas, «ένα πλοίο αναχωρεί από τη Χάβρη για τη Νέα Υόρκη και ένα άλλο πλοίο αναχωρεί από τη Νέα Υόρκη για τη Χάβρη. Το ταξίδι διαρκεί 7 μερόνυχτα. Πόσα πλοία από το δρομολόγιο Νέα Υόρκη-Χάβρη θα συναντήσει το πλοίο που αναχωρεί σήμερα από τη Χάβρη στο ταξίδι του μέχρι τη Νέα Υόρκη;»

 

4. Αν συναντήσετε δύο από τις αδελφές Λάμπρου (όπου υποθέτουμε ότι και οι δύο έχουν επιλεγεί με τυχαίο τρόπο από το σύνολο όλων των αδελφών Λάμπρου), έχετε πιθανότητα ακριβώς 1/2 να είναι και οι δύο γαλανομάτες. Πόσες νομίζετε ότι είναι συνολικά οι γαλανομάτες αδελφές Λάμπρου;

 

Λύσεις

1. Αφού μόνο μία πρόταση είναι αληθής, υπάρχουν τρεις δυνατοί συνδυασμοί αλήθειας (Α) και ψεύδους (Ψ) για τις τρεις προτάσεις: ΑΨΨ, ΨΑΨ και ΨΨΑ. Ο μόνος συνδυασμός που δεν πάσχει από αντιφάσεις είναι ο ΨΑΨ, πράγμα που σημαίνει ότι ο Γιώργος δεν έχει κανένα βιβλίο.
2. Ο Α σκέφτεται: «Ο Β είναι σίγουρος ότι το πρόσωπό του δεν είναι μουντζουρωμένο. Αν έβλεπε το δικό μου πρόσωπο καθαρό, θα του προκαλούσε έκπληξη που βλέπει τον Γ να γελάει, διότι ο Γ δεν θα έβλεπε κανένα μουντζουρωμένο πρόσωπο. Αλλά ο Β δεν έχει εκπλαγεί. Επομένως, το πρόσωπό μου είναι μουντζουρωμένο.»
3. Αν απαντήσατε 7, έχοντας κατά νου τα πλοία που δεν έχουν ξεκινήσει ακόμα, τότε ξεχάσατε αυτά που βρίσκονται ήδη καθ’ οδόν. Το πλοίο που ξεκινάει από τη Χάβρη θα συναντήσει 13 πλοία στη θάλασσα και από 1 σε κάθε λιμάνι, δηλαδή συνολικά 15. Οι συναντήσεις συμβαίνουν το μεσημέρι και τα μεσάνυχτα της κάθε μέρας.
4. Υπάρχουν τρεις γαλανομάτες αδελφές Λάμπρου και τέσσερεις αδελφές συνολικά. Αν υπάρχουν n κορίτσια ,από τα οποία τα g έχουν γαλανά μάτια, η πιθανότητα να επιλεγούν τυχαία δύο με γαλανά μάτια είναι g(g-1)/n(n-1). Αφού γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα αυτή είναι 1/2, θέλουμε να βρούμε ακέραιες τιμές για τα g και n οι οποίες να κάνουν την παραπάνω έκφραση ίση με 1/2. Οι μικρότερες τέτοιες τιμές είναι n=4 και g = 3.