Γεωμετρία: Μια νέα ματιά

,

Συγγραφείς: H.S.M. Coxeter & S.L. Greitzer

Μετάφραση: Γιάννης Παπαδόγγονας

Επιστημονική επιμέλεια: Γιώργος Γαβριλόπουλος

ISBN: 978-618-864-144-0

Αριθμός σελίδων: 240

Διαστάσεις: 17 x 24

Ανάμεσα στα πολλά όμορφα και μη τετριμμένα θεωρήματα της γεωμετρίας που βρίσκει κανείς σε αυτό το βιβλίο είναι τα θεωρήματα του Ceva, του Μενελάου, του Πάππου, του Desargues, του Pascal, και του Brianchon. Παρουσιάζεται επίσης μια όμορφη απόδειξη του αξιοσημείωτου θεωρήματος του Morley για τις τριχοτόμους γωνιών. Η ανάπτυξη της ύλης δίνει έμφαση στη σκοπιά των μετασχηματισμών: κατοπτρισμοί, περιστροφές, μετατοπίσεις, ομοιότητες, αντιστροφές, αφινικός και προβολικός μετασχηματισμός. Παρουσιάζονται επίσης πολλές συναρπαστικές ιδιότητες των κύκλων, των τριγώνων, των τετραπλεύρων και των κωνικών τομών.

Πρόλογος στην ελληνική έκδοση ix

Πρόλογος xv

1 Σημεία και ευθείες που συνδέονται με ένα τρίγωνο 1
1.1 Ο επεκτεταμένος νόμος των ημιτόνων 2
1.2 Το θεώρημα του Ceva 4
1.3 Σημεία ενδιαφέροντος 7
1.4 Ο εγγεγραμμένος και οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι 11
1.5 Το θεώρημα Steiner-Lehmus 14
1.6 Το ορθικό τρίγωνο 18
1.7 Το μέσο τρίγωνο και η ευθεία Euler 19
1.8 Ο κύκλος των εννέα σημείων 22
1.9 Ποδικά τρίγωνα 25

2 Ορισμένες ιδιότητες των κύκλων 31
2.1 Η δύναμη σημείου ως προς κύκλο 31
2.2 Ο ριζικός άξονας δύο κύκλων 36
2.3 Ομοαξονικοί κύκλοι 40
2.4 Περισσότερα για τα ύψη και για το ορθόκεντρο ενός τριγώνου 41
2.5 Ευθείες Simson 46
2.6 Το θεώρημα του Πτολεμαίου και η επέκτασή του 48
2.7 Περισσότερα για τις ευθείες Simson 50
2.8 Η πεταλούδα 52
2.9 Το θεώρημα του Morley 54

3 Συνευθειακότητα και συντρέχεια 59
3.1 Τεσσεράγωνα· θεώρημα του Varignon 60
3.2 Κυκλικά τεσσεράγωνα· ο τύπος του Βραχμαγκούπτα 65
3.3 Τρίγωνα του Ναπολέοντα 70
3.4 Το θεώρημα του Μενελάου 76
3.5 Το θεώρημα του Πάππου 78
3.6 Προοπτικά τρίγωνα· το θεώρημα του Desargues 81
3.7 Εξάγωνα 84
3.8 Το θεώρημα του Pascal 86
3.9 Το θεώρημα του Brianchon 89

4 Μετασχηματισμοί 93
4.1 Μετατόπιση 94
4.2 Περιστροφή 96
4.3 Ημιπεριστροφές 99
4.4 Κατοπτρισμός 100
4.5 Το πρόβλημα του Fagnano 102
4.6 Το πρόβλημα των τριών κανατών 104
4.7 Ομοιοθεσία 109
4.8 Σπειροειδής ομοιότητα 112
4.9 Μια γενεαλογία μετασχηματισμών 118

5 Μια εισαγωγή στην αντιστροφή 121
5.1 Διαχωρισμός 121
5.2 Διπλός λόγος 126
5.3 Αντιστροφή 127
5.4 Το αντιστροφικό επίπεδο 131
5.5 Ορθογωνιότητα 134
5.6 Το θεώρημα του Feuerbach 138
5.7 Ομοαξονικοί κύκλοι 140
5.8 Αντιστροφική απόσταση 144
5.9 Υπερβολικές συναρτήσεις 148

6 Μια εισαγωγή στην προβολική γεωμετρία 155
6.1 Παλινδρόμηση 155
6.2 Ο πολικός κύκλος ενός τριγώνου 160
6.3 Κωνικές τομές 161
6.4 Εστία και διευθετούσα 165
6.5 Το προβολικό επίπεδο 167
6.6 Κεντρικές κωνικές 170
6.7 Στερεογραφική και γνωμονική προβολή 174

Υποδείξεις και απαντήσεις στις ασκήσεις 179

Βιβλιογραφία 209

Γλωσσάρι 211

Ευρετήριο 217

Η διδακτέα ύλη των μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση συνήθως περιλαμβάνει ένα μόνο μονοετές μάθημα στην επιπεδομετρία, ή ίσως ένα μάθημα στη γεωμετρία και τη στοιχειώδη αναλυτική γεωμετρία που ονομάζεται «μαθηματικά της δεκάτης τάξης» [Σ.τ.Μ.: το αντίστοιχο της Πρώτης Λυκείου στην Ελλάδα]. Το μάθημα αυτό, που διδάσκεται νωρίς στην πορεία ενός μαθητή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, είναι συνήθως η μοναδική επαφή του με το γνωστικό αυτό αντικείμενο. Αντίθετα, ο μαθητής με έφεση στα μαθηματικά έχει την ευκαιρία να μελετήσει στοιχειώδη άλγεβρα, άλγεβρα μέσου επιπέδου, ή ακόμα και προχωρημένη άλγεβρα. Είναι επομένως φυσιολογικό να αναμένει κανείς κάποια μεροληψία υπέρ της άλγεβρας και κατά της γεωμετρίας. Επιπλέον, υπάρχουν παραπλανημένοι θιασώτες των μαθηματικών που ωθούν τον μαθητή να πιστεύει ότι η γεωμετρία είναι «εκτός του κυρίως ρεύματος των μαθηματικών», και ότι θα έπρεπε να αντικατασταθεί από την ανάλυση ή τη θεωρία συνόλων.

Ενδέχεται η υποδεέστερη θέση της γεωμετρίας στο σχολικό πρόγραμμα να απορρέει από έλλειψη οικειότητας από την πλευρά των διδασκόντων με τη φύση της γεωμετρίας και με την πρόοδο που έχει συντελεστεί στην ανάπτυξή της. Η πρόοδος αυτή περιλαμβάνει πολλά όμορφα αποτελέσματα όπως το θεώρημα του Brianchon (Ενότητα 3.9), το θεώρημα του Feuerbach (Ενότητα 5.6),το θεώρημα Petersen-Schoute (Ενότητα 4.8) και το θεώρημα του Morley (Ενότητα 2.9). Από ιστορικής σκοπιάς, θα πρέπει να έχουμε κατά νου πως ο Ευκλείδης έγραψε για ώριμους αναγνώστες που προετοιμάζονταν για τη μελέτη της φιλοσοφίας. Μέχρι τον 20ό αιώνα, ένας από τους βασικούς λόγους της διδασκαλίας της γεωμετρίας ήταν πως η αξιωματική της μέθοδος θεωρούνταν η καλύτερη εισαγωγή στην παραγωγική σκέψη. Όπως ήταν φυσικό, δινόταν μεγάλη έμφαση στην τυπική μέθοδο για λόγους εκπαιδευτικής αποτελεσματικότητας. Ωστόσο, ούτε οι αρχαίοι ούτε οι σύγχρονοι γεωμέτρες έχουν διστάσει να υιοθετήσουν λιγότερο ορθόδοξες μεθόδους όταν αυτό τους διευκόλυνε. Αν η τριγωνομετρία, η αναλυτική γεωμετρία ή οι διανυσματικές μέθοδοι βοηθούν τον σκοπό του, ο γεωμέτρης θα τις χρησιμοποιήσει. Επιπλέον, έχει επινοήσει και ο ίδιος σύγχρονες τεχνικές που είναι κομψές και ισχυρές. Μια τέτοια τεχνική είναι η χρήση των μετασχηματισμών, όπως οι περιστροφές, οι κατοπτρισμοί και οι ομοιοθεσίες, που προσφέρουν παρακάμψεις για την απόδειξη ορισμένων θεωρημάτων, ενώ συνδέουν επίσης τη γεωμετρία με την κρυσταλλογραφία και την τέχνη. Αυτή η «δυναμική» πλευρά της γεωμετρίας είναι το αντικείμενο του Κεφαλαίου 4. Μια άλλη «σύγχρονη» τεχνική είναι η μέθοδος της αντιστροφικής γεωμετρίας, η οποία πραγματεύεται σημεία και κύκλους, αντιμετωπίζοντας μια ευθεία ως κύκλο που συμβαίνει να διέρχεται από «το σημείο στο άπειρο». Μια αίσθηση για τον χαρακτήρα αυτής της μεθόδου προσφέρει το Κεφάλαιο 5. Μια τρίτη τεχνική είναι η μέθοδος της προβολικής γεωμετρίας, που αγνοεί οτιδήποτε αφορά αποστάσεις και γωνίες, αλλά τονίζει την αναλογία μεταξύ σημείων και ευθειών (ολόκληρων άπειρων ευθειών, όχι απλών ευθύγραμμων τμημάτων). Εδώ όχι μόνο οποιαδήποτε δύο σημεία ενώνονται με μία ευθεία, αλλά οποιεσδήποτε δύο ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο· οι παράλληλες ευθείες αντιμετωπίζονται ως ευθείες που το κοινό τους σημείο συμβαίνει να κείται «στην ευθεία στο άπειρο». Θα αναφέρουμε λίγα πράγματα για αυτό το γνωστικό αντικείμενο στο Κεφάλαιο 6.

Η γεωμετρία εξακολουθεί να έχει όλες εκείνες τις αρετές που της είχαν αποδώσει οι δάσκαλοι πριν από μια γενιά. Εξακολουθεί να υπάρχει γεωμετρία στη φύση, περιμένοντας να την αναγνωρίσουμε και να την εκτιμήσουμε. Η γεωμετρία (ιδιαίτερα η προβολική) παραμένει ένας εξαιρετικός τρόπος εισαγωγής ενός μαθητή στην αξιωματική μέθοδο. Εξακολουθεί να διέπεται από την αισθητική γοητεία που τη χαρακτήριζε πάντα, και η ομορφιά των αποτελεσμάτων της δεν έχει μειωθεί. Επιπλέον, είναι πιο χρήσιμη και απαραίτητη από ποτέ στον θετικό επιστήμονα και στον πρακτικό μαθηματικό. Αναλογιστείτε,για παράδειγμα, τα σχήματα των τροχιών των τεχνητών δορυφόρων, και την τετραδιάστατη γεωμετρία του χωροχρονικού συνεχούς.

Στο διάβα των αιώνων, η γεωμετρία έχει αναπτυχθεί και συνεχίζει να αναπτύσσεται. Νέες έννοιες και μέθοδοι διαδικασιών έχουν αναπτυχθεί: έννοιες που ο μαθητής θα βρει προκλητικές και αναπάντεχες. Χρησιμοποιώντας όποια μέσα θα εξυπηρετούν καλύτερα τους σκοπούς μας, ας επανεξετάσουμε τον Ευκλείδη. Ας ανακαλύψουμε εμείς οι ίδιοι κάποια από τα νεώτερα αποτελέσματα.Ίσως να καταφέρουμε να συλλάβουμε ξανά μια αίσθηση του θαυμασμού και του δέους που μας ενέπνευσε η πρώτη μας επαφή με τη γεωμετρία.

Ο Harold Scott MacDonald Coxeter (1907 – 2003) ήταν Βρετανο-Καναδός γεωμέτρης και μαθηματικός. Θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους γεωμέτρες του 20ού αιώνα.

Ο Samuel L. Greitzer (1905 – 1988) ήταν Αμερικανός μαθηματικός, ιδρυτής και πρώτος πρόεδρος της Μαθηματικής Ολυμπιάδας των ΗΠΑ, και εκδότης του μαθηματικού περιοδικού Arbelos.

Σχετικά προϊόντα