Τι είναι τα μαθηματικά;

,

Συγγραφείς: Richard Courant, Herbert Robbins & Ian Stewart

Μετάφραση: Γιάννης Παπαδόγγονας

Επιστημονική επιμέλεια: Γιώργος Γαβριλόπουλος, Θεοφάνης Γραμμένος

ISBN: 978-618-864-145-7

Αριθμός σελίδων: 656

Διαστάσεις: 17 x 24

28.80€

Διαβάστε τα Περιεχόμενα, τoν Πρόλογο στην πρώτη έκδοση, τoν Πρόλογο στη δεύτερη έκδοση, την Εισαγωγή, τον Πρόλογο στην ελληνική έκδοση και ένα ενδεικτικό κεφάλαιο.

Για πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια, κάποια εξοικείωση με τα μαθηματικά θεωρούνταν αναπόσπαστο τμήμα της διανοητικής σκευής κάθε καλλιεργημένου ανθρώπου. Στις μέρες μας, δυστυχώς, η παραδοσιακή θέση των μαθηματικών στην εκπαίδευση διατρέχει σοβαρό κίνδυνο. Η διδασκαλία και η εκμάθηση των μαθηματικών έχουν εκφυλιστεί στην επικράτεια της στείρας απομνημόνευσης, το αποτέλεσμα της οποίας οδηγεί σε επαρκή τυπική ικανότητα αλλά όχι σε πραγματική κατανόηση ή σε μεγαλύτερη διανοητική ανεξαρτησία. Αυτή η νέα έκδοση του κλασικού έργου των Richard Courant και Herbert Robbins επιδιώκει να αντιμετωπίσει αυτό το πρόβλημα. Ο στόχος της είναι να επαναφέρει το νόημα στα μαθηματικά.

Γραμμένο για αρχάριους και για λόγιους, για μαθητές και για δασκάλους, για φιλοσόφους και για μηχανικούς, το Τι είναι τα μαθηματικά;, στη δεύτερη έκδοσή του, είναι μια συναρπαστική συλλογή από μαθηματικά διαμάντια που φιλοτεχνεί ένα απολαυστικό και προσιτό πορτραίτο του μαθηματικού κόσμου. Καλύπτοντας τα πάντα από τους φυσικούς αριθμούς και το σύστημα των αριθμών μέχρι τις γεωμετρικές κατασκευές και την προβολική γεωμετρία, από την τοπολογία και τον απειροστικό λογισμό μέχρι ζητήματα αρχής και την υπόθεση του συνεχούς, αυτή η γοητευτική επισκόπηση δίνει στον αναγνώστη τη δυνατότητα να διερευνήσει τα μαθηματικά ως ένα οργανικό σύνολο αντί για μια ανούσια εξάσκηση στην επίλυση προβλημάτων. Με κεφάλαια που είναι σε μεγάλο βαθμό ανεξάρτητα μεταξύ τους και ενότητες που οδηγούν από βασικά σε πιο προχωρημένα θέματα, ο αναγνώστης μπορεί να επιλέγει εύκολα περιοχές ιδιαίτερου ενδιαφέροντος κατά τη διακριτική του ευχέρεια χωρίς να βλάπτεται η κατανόηση επόμενων τμημάτων.

Ενημερωμένο με την προσθήκη ενός νέου κεφαλαίου από τον Ian Stewart, το Τι είναι τα μαθηματικά; διεισδύει σε πρόσφατες μαθηματικές ανακαλύψεις και περιγράφει αποδείξεις του θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων και του τελευταίου θεωρήματος του Fermat, προβλημάτων που ήταν ακόμα ανοικτά όταν οι Courant και Robbins έγραψαν αυτό το αριστούργημα, αλλά που έχουν έκτοτε επιλυθεί.

Τα τυπικά μαθηματικά είναι σαν την ορθογραφία και τη γραμματική – ένα ζήτημα ορθής εφαρμογής κανόνων τοπικής εμβέλειας. Τα ουσιαστικά μαθηματικά είναι σαν τη δημοσιογραφία – αφηγούνται μια ενδιαφέρουσα ιστορία. Αντίθετα όμως από κάποια είδη δημοσιογραφίας, η ιστορία θα πρέπει να είναι αληθινή. Τα καλύτερα μαθηματικά είναι σαν τη λογοτεχνία – ζωντανεύουν μια ιστορία μπροστά στα μάτια μας και μας κάνουν συμμέτοχους σε αυτή, διανοητικά και συναισθηματικά. Το Τι είναι τα μαθηματικά; μοιάζει με ένα έξοχο δείγμα λογοτεχνίας – ανοίγει ένα παράθυρο στον κόσμο των μαθηματικών για καθέναν που ενδιαφέρεται να δει.

 

Διαστάσεις

17 x 24
Αριθμός σελίδων

656
Ημερομηνία έκδοσης

Δεκέμβριος 2025
ISBN

978-618-864-145-7
Μετάφραση

Γιάννης Παπαδόγγονας
Συγγραφέας

Richard Courant, Herbert Robbins, Ian Stewart

I ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1

§1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΟΥΣ 2
1. Οι νόμοι της αριθμητικής 2
2. Η αναπαράσταση των ακεραίων 5
3. Υπολογισμοί σε συστήματα διαφορετικά από το δεκαδικό 8

§2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 11
1. Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής 11
2. Η αριθμητική πρόοδος 13
3. Η γεωμετρική πρόοδος 15
4. Το άθροισμα των πρώτων n τετραγώνων16
*5. Μια σημαντική ανισότητα 17
*6. Το διωνυμικό θεώρημα 18
*7. Επιπλέον σχόλια για τη μαθηματική επαγωγή 20

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ I Η ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 23

§1. ΟΙ ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 23
1. Θεμελιώδη στοιχεία 23
2. Η κατανομή των πρώτων 27

§2. ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 35
1. Γενικές έννοιες 35
2. Θεώρημα του Fermat 40
3. Τετραγωνικά υπόλοιπα 42

§3. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FERMAT 44

§4. Ο ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ 47
1. Γενική θεωρία 47
2. Εφαρμογή στο θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής 51
3. Η συνάρτηση φ του Euler. Το θεώρημα του Fermat ξανά 52
4. Συνεχή κλάσματα. Διοφαντικές εξισώσεις 54

II ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 57

§1. ΟΙ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 57
1. Οι ρητοί αριθμοί ως μέσο μέτρησης 57
2. Εγγενής ανάγκη για τους ρητούς αριθμούς. Αρχή της γενίκευσης 59
3. Γεωμετρική ερμηνεία των ρητών αριθμών.62

§2. ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ, ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΚΑΙ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ 63
1. Εισαγωγή 63
2. Δεκαδικά κλάσματα. Άπειροι δεκαδικοί αριθμοί 66
3. Όρια. Άπειρη γεωμετρική σειρά 69
4. Ρητοί αριθμοί και περιοδικοί δεκαδικοί 72
5. Γενικός ορισμός των άρρητων αριθμών μέσω εγκιβωτισμένων διαστημάτων 74
*6. Εναλλακτικές μέθοδοι ορισμού των άρρητων αριθμών. Τομές Dedekind 77

§3. ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 79
1. Η βασική αρχή 79
*2. Εξισώσεις ευθειών και καμπυλών 81

§4. Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ 84
1. Θεμελιώδεις έννοιες 84
2. Η αριθμησιμότητα των ρητών αριθμών και η μη αριθμησιμότητα του συνεχούς 86
3. Οι «πληθικοί αριθμοί» του Cantor 90
4. Η έμμεση μέθοδος απόδειξης 93
5. Τα παράδοξα του απείρου 94
6. Τα θεμέλια των μαθηματικών 95

§5. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 96
1. Η προέλευση των μιγαδικών αριθμών 96
2. Η γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών αριθμών 100
3. Τύπος του De Moivre και οι ρίζες της μονάδας 106
*4. Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας 109

* §6. ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΙ ΚΑΙ ΥΠΕΡΒΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 112
1. Ορισμός και ύπαρξη 112
**2. Θεώρημα του Liouville και η κατασκευή υπερβατικών αριθμών 113

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II Η ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ 118
1. Ορισμός και ύπαρξη 118
2. Εφαρμογή στη μαθηματική λογική 123
3. Μια εφαρμογή στη θεωρία πιθανοτήτων 125

III ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ. Η ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 129

§1. ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 132
1. Κατασκευή σωμάτων και εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας 132
2. Κανονικά πολύγωνα 135
*3. Το πρόβλημα του Απολλώνιου 138

* §2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ 140
1. Γενική θεωρία 140
2. Όλοι οι κατασκευάσιμοι αριθμοί είναι αλγεβρικοί 147

* §3. Η ΜΗ ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 148
1. Διπλασιασμός του κύβου 148
2. Ένα θεώρημα περί κυβικών εξισώσεων 149
3. Τριχοτόμηση της γωνίας 151
4. Το κανονικό επτάγωνο 153
5. Σχόλια για το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου 154

§4. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ 155
1. Γενικές παρατηρήσεις 155
2. Ιδιότητες της αντιστροφής 157
3. Γεωμετρική κατασκευή αντίστροφων σημείων 159
4. Πώς να διχοτομήσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα και να βρούμε το κέντρο ενός κύκλου μόνο με τον διαβήτη 160

§5. ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΑΛΛΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ MASCHERONI ΜΟΝΟ ΜΕ ΔΙΑΒΗΤΗ 161
*1. Μια κλασική κατασκευή για τον διπλασιασμό του κύβου 161
2. Περιορισμός στη χρήση μόνο διαβήτη 162
3. Σχεδίαση με μηχανικά όργανα. Μηχανικές καμπύλες. Κυκλοειδείς 168
*4. Μηχανισμοί ράβδων. Αντιστροφείς των Peaucellier και Hart 170

§6. ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ 174
1. Αναλλοίωτο γωνιών. Οικογένειες κύκλων 174
2. Εφαρμογή στο πρόβλημα του Απολλώνιου 176
*3. Επανειλημμένοι κατοπτρισμοί 178

IV ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ 181

§1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 181
1. Ταξινόμηση γεωμετρικών ιδιοτήτων. Αναλλοίωτο υπό μετασχηματισμούς 181
2. Προβολικοί μετασχηματισμοί 183

§2. ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 184
1. Η ομάδα των προβολικών μετασχηματισμών 184
2. Θεώρημα του Desargues 186

§3. ΔΙΠΛΟΣ ΛΟΓΟΣ 188
1. Ορισμός και απόδειξη του αναλλοίωτου 188
2. Εφαρμογή στο πλήρες τετράπλευρο 195

§4. ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ ΚΑΙ ΑΠΕΙΡΟ 197
1. Σημεία στο άπειρο ως «ιδεατά σημεία» 197
2. Ιδεατά στοιχεία και προβολή 200
3. Διπλός λόγος με στοιχεία στο άπειρο 202

§5. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.202
1. Προκαταρκτικά σχόλια.202
2. Απόδειξη του θεωρήματος του Desargues στο επίπεδο 204
3. Θεώρημα του Pascal 205
4. Θεώρημα του Brianchon 207
5. Σχόλια περί δυϊκότητας 209

§6. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 209
1. Εισαγωγικά σχόλια 209
*2. Ομογενείς συντεταγμένες. Η αλγεβρική βάση της δυϊκότητας 211

§7. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΟΝΟ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ 215

§8. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 217
1. Στοιχειώδης μετρική γεωμετρία κωνικών τομών 217
2. Προβολικές ιδιότητες των κωνικών τομών 220
3. Κωνικές τομές ως ευθειακές καμπύλες 224
4. Γενικά θεωρήματα των Pascal και Brianchon για κωνικές τομές 228
5. Το υπερβολοειδές 231

§9. ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ Η ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 233
1. Η αξιωματική μέθοδος 233
2. Υπερβολική μη ευκλείδεια γεωμετρία 237
3. Γεωμετρία και πραγματικότητα 242
4. Το μοντέλο του Poincaré 243
5. Ελλειπτική γεωμετρία ή γεωμετρία Riemann 245

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ *ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ 247
1. Εισαγωγή 247
2. Αναλυτική προσέγγιση 248
3. Γεωμετρική ή συνδυαστική προσέγγιση250

V ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 255

§1. ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ EULER ΓΙΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ 256

§2. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 261
1. Τοπολογικές ιδιότητες 261
2. Συνεκτικότητα 263

§3. ΑΛΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ 264
1. Το θεώρημα της καμπύλης Jordan 264
2. Το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων 266
*3. Η έννοια της διάστασης 269
*4. Ένα θεώρημα σταθερού σημείου 273
5. Κόμβοι 277

§4. Η ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 278
1. Το γένος μιας επιφάνειας 278
*2. Η χαρακτηριστική Euler μιας επιφάνειας 280
3. Επιφάνειες μίας όψης 281

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 286
*1. Το θεώρημα των πέντε χρωμάτων 286
2. Το θεώρημα της καμπύλης Jordan για πολύγωνα 289
*3. Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας 292

VI ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ 295

§1. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 296
1. Ορισμοί και παραδείγματα 296
2. Ακτινικό μέτρο γωνιών 301
3. Το γράφημα μιας συνάρτησης. Αντίστροφες συναρτήσεις 302
4. Σύνθεση συναρτήσεων 305
5. Συνέχεια 307
*6. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών 310
*7. Συναρτήσεις και μετασχηματισμοί 313

§2. ΟΡΙΑ 314
1. Το όριο μιας ακολουθίας a_n 314
2. Μονότονες ακολουθίες 319
3. Ο αριθμός e του Euler 322
4. Ο αριθμός π 324
5. *Συνεχή κλάσματα 326

§3. ΟΡΙΑ ΜΕΣΩ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ 328
1. Εισαγωγή. Γενικός ορισμός 328
2. Σχόλια πάνω στην έννοια του ορίου 331
3. Το όριο του sin x/x 333
4. Όρια καθώς x τείνει στο άπειρο 335

§4. ΑΚΡΙΒΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 336

§5. ΔΥΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 338
1. Το θεώρημα του Bolzano 338
*2. Απόδειξη του θεωρήματος του Bolzano 338
3. Το θεώρημα ακροτάτων του Weierstrass 340
*4. Ένα θεώρημα περί ακολουθιών. Συμπαγή σύνολα 341

§6. ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ BOLZANO 343
1. Γεωμετρικές εφαρμογές 343
*2. Εφαρμογή σε ένα πρόβλημα μηχανικής 346

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 349

§1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΡΙΩΝ 349
1. Γενικά σχόλια 349
2. Το όριο της q εις την n 349
3. Το όριο της n-οστής ρίζας p 350
4. Ασυνεχείς συναρτήσεις ως όρια συνεχών συναρτήσεων 352
*5. Όρια μέσω επανάληψης 353

§2. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 355

VII ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΑ 357

§1. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 358
1. Μέγιστο εμβαδόν ενός τριγώνου με δύο δεδομένες πλευρές 358
2. Θεώρημα του Ήρωνα Ιδιότητα ακροτάτου των ακτίνων φωτός 358
3. Εφαρμογές σε προβλήματα με τρίγωνα 360
4. Ιδιότητες εφαπτομένων έλλειψης και υπερβολής. Αντίστοιχες ιδιότητες ακροτάτων 361
*5. Ακραίες αποστάσεις από μια δεδομένη καμπύλη 365

*§2. ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΑΡΧΗ ΠΟΥ ΔΙΕΠΕΙ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΑΣ ΤΙΜΗΣ 367
1. Η αρχή 367
2. Παραδείγματα 369

§3. ΣΤΑΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΙ Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 370
1. Ακρότατα και στάσιμα σημεία 370
2. Μέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Σαγματικά σημεία 372
3. Ελαχιστομέγιστα σημεία και τοπολογία 374
4. Η απόσταση ανάμεσα σε ένα σημείο και μια επιφάνεια 375

§4. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΤΟΥ SCHWARZ 376
1. Η απόδειξη του Schwarz 376
2. Μια άλλη απόδειξη 378
3. Αμβλυγώνια τρίγωνα 380
4. Τρίγωνα που σχηματίζονται από ακτίνες φωτός 381
*5. Σχόλια αναφορικά με προβλήματα κατοπτρισμού και εργοδικής κίνησης 382

§5. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ STEINER 384
1. Πρόβλημα και λύση 384
2. Ανάλυση των εναλλακτικών δυνατοτήτων 386
3. Ένα συμπληρωματικό πρόβλημα 388
4. Σχόλια και ασκήσεις 389
5. Γενίκευση στο πρόβλημα του οδικού δικτύου 390

§6. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ 391
1. Ο αριθμητικός και ο γεωμετρικός μέσος δύο θετικών ποσοτήτων 392
2. Γενίκευση σε n μεταβλητές 394
3. Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 395

§7. Η ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ. Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ DIRICHLET 397
1. Γενικά σχόλια 397
2. Παραδείγματα 399
3. Στοιχειώδη προβλήματα ακροτάτου 402
4. Δυσκολίες στις ανώτερες περιπτώσεις 403

§8. ΤΟ ΙΣΟΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 405

* §9. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ ΜΕ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ. ΣΥΝΔΕΣΗ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ STEINER ΚΑΙ ΤΟ ΙΣΟΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 408

§10. Ο ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ 411
1. Εισαγωγή 411
2. Ο λογισμός των μεταβολών. Η αρχή του Fermat στην οπτική 413
3. Η πραγμάτευση του προβλήματος του βραχιστόχρονου από τον Bernoulli 415
4. Γεωδαισιακές επάνω σε σφαίρα. Γεωδαισιακές και μεγιστο-ελάχιστα 417

§11. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ. ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ ΜΕ ΥΜΕΝΙΑ ΣΑΠΟΥΝΑΔΑΣ 418
1. Εισαγωγή 418
2. Πειράματα με υμένια σαπουνάδας 419
3. Νέα πειράματα πάνω στο πρόβλημα του Plateau 420
4. Πειραματικές λύσεις άλλων μαθηματικών προβλημάτων 424

VIII Ο ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 433

§1. ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 435
1. Το εμβαδόν ως όριο 435
2. Το ολοκλήρωμα 436
3. Γενικά σχόλια για την έννοια του ολοκληρώματος. Γενικός ορισμός 440
4. Παραδείγματα ολοκλήρωσης. Ολοκλήρωση του x εις την r 442
5. Κανόνες για τον «ολοκληρωτικό λογισμό» 447

§2. Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 451
1. Η παράγωγος ως κλίση 451
2. Η παράγωγος ως όριο 452
3. Παραδείγματα 455
4. Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων 458
*5. Παραγώγιση και συνέχεια 459
6. Παράγωγος και ταχύτητα. Δεύτερη παράγωγος και επιτάχυνση 460
7. Γεωμετρικό νόημα της δεύτερης παραγώγου 463
8. Μέγιστα και ελάχιστα 464

§3. Η ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 464

§4. Ο ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LEIBNIZ ΚΑΙ ΤΟ «ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ ΜΙΚΡΟ» 471

§5. ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 474
1. Το θεμελιώδες θεώρημα 474
2. Πρώτες εφαρμογές. Ολοκλήρωση των x εις την r, cos x, sin x.Η arctan x 477
3. Ο τύπος του Leibniz για το π 479

§6. Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ Ο ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ 481
1. Ορισμός και ιδιότητες του λογαρίθμου. Ο αριθμός e του Euler 481
2. Η εκθετική συνάρτηση 484
3. Τύποι για παραγώγιση των e, a εις την x και x εις την s 486
4. Συγκεκριμένες εκφράσεις για το e, το e εις την x και το log x ως όρια 487
5. Άπειρη σειρά για τον λογάριθμο. Αριθμητικός υπολογισμός 490

§7. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 493
1. Ορισμός 493
2. Η διαφορική εξίσωση της εκθετικής συνάρτησης. Ραδιενεργός διάσπαση. Νόμος αύξησης. Ανατοκισμός 494
3. Άλλα παραδείγματα. Στοιχειώδεις ταλαντώσεις 497
4. Ο νόμος της δυναμικής του Νεύτωνα 499

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ VIII 502

§1. ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΑΡΧΗΣ 502
1. Παραγωγισιμότητα 502
2. Το ολοκλήρωμα 504
3. Άλλες εφαρμογές της έννοιας του ολοκληρώματος. Έργο. Μήκος 506

§2. ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ 509
1. Η εκθετική συνάρτηση και δυνάμεις του x 509
2. Τάξη μεγέθους του log(n!) 511

§3. ΑΠΕΙΡΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΑΠΕΙΡΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ 513
1. Άπειρες σειρές συναρτήσεων 513
2. Ο τύπος του Euler, cosx+i sinx = e εις στην ix 518
3. Η αρμονική σειρά και η συνάρτηση ζήτα. Το γινόμενο του Euler για το ημίτονο 520

** §4. ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 524

IX ΠΡΟΣΦΑΤΕΣ ΕΞΕΛΙΞΕΙΣ 529

§1. ΕΝΑΣ ΤΥΠΟΣ ΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 529

§2. Η ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΟΥ GOLDBACH ΚΑΙ ΟΙ ΔΙΔΥΜΟΙ ΠΡΩΤΟΙ 530

§3. ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FERMAT 533

§4. Η ΥΠΟΘΕΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ 536

§5. ΣΥΝΟΛΟΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ 537

§6. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΧΡΩΜΑΤΩΝ 538

§7. ΔΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF ΚΑΙ FRACTAL 542

§8. ΚΟΜΒΟΙ 546

§9. ΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 549

§10. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ STEINER 551

§11. ΥΜΕΝΙΑ ΣΑΠΟΥΝΑΔΑΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 558

§12. ΜΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 563

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ, ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 569

Αριθμητική και άλγεβρα 569

Αναλυτική γεωμετρία 571

Γεωμετρικές κατασκευές 577

Προβολική και μη ευκλείδεια γεωμετρία 578

Τοπολογία 579

Συναρτήσεις, όρια και συνέχεια 582

Μέγιστα και ελάχιστα 583

Ο απειροστικός λογισμός 586

Τεχνική ολοκλήρωσης 587

Υποδείξεις για περαιτέρω ανάγνωση 595

Υποδείξεις για επιπλέον ανάγνωση 599

Ευρετήριο 605

ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Ως έκφραση του ανθρώπινου νου, τα μαθηματικά αντανακλούν την ενεργό βούληση, τη στοχαστική λογική, και την επιθυμία για αισθητική τελειότητα. Τα βασικά τους στοιχεία είναι η λογική και η διαίσθηση, η ανάλυση και η κατασκευή, η γενικότητα και η ατομικότητα. Αν και διαφορετικές παραδόσεις ενδέχεται να δίνουν έμφαση σε διαφορετικές πτυχές, αυτό που συνιστά τη ζωή, τη χρησιμότητα και την υπέρτατη αξία της μαθηματικής επιστήμης είναι μόνο η αλληλενέργεια αυτών των αντιθετικών δυνάμεων και η πάλη για τη σύνθεσή τους.

Αναμφίβολα, όλη η μαθηματική ανάπτυξη έχει τις ψυχολογικές της ρίζες σε λίγο ή πολύ πρακτικές ανάγκες. Ωστόσο, από τη στιγμή που τα μαθηματικά ξεκίνησαν υπό την πίεση των αναγκαίων εφαρμογών, αναπόφευκτα κερδίζουν ορμή αυτόνομα και υπερβαίνουν τα όρια της άμεσης χρησιμότητας. Η τάση αυτή από την εφαρμοσμένη στη θεωρητική επιστήμη εμφανίζεται τόσο στην αρχαία ιστορία όσο και σε πολλές συνεισφορές από μηχανικούς και φυσικούς στα σύγχρονα μαθηματικά.

Τα καταγεγραμμένα μαθηματικά ξεκινούν από την Ανατολή, όπου, περί το 2000 π.Χ., οι Βαβυλώνιοι συγκέντρωσαν έναν μεγάλο πλούτο υλικού το οποίο σήμερα θα συμπεριλαμβανόταν στη στοιχειώδη άλγεβρα. Ωστόσο, ως επιστήμη με τη σύγχρονη έννοια τα μαθηματικά αναδύονται μεταγενέστερα, σε ελληνικό έδαφος, κατά τον πέμπτο και τον τέταρτο αιώνα π.Χ. Η ολοένα και αυξανόμενη επαφή ανάμεσα στους Έλληνες και την Ανατολή, που ξεκίνησε την εποχή της Περσικής αυτοκρατορίας και κορυφώθηκε στην περίοδο μετά τις εκστρατείες του Αλεξάνδρου, εξοικείωσε τους Έλληνες με τα επιτεύγματα των Βαβυλωνίων στα μαθηματικά και την αστρονομία. Σύντομα τα μαθηματικά υποβλήθηκαν στη φιλοσοφική ανάλυση που άκμασε στις ελληνικές πόλεις-κράτη. Με τον τρόπο αυτό, οι Έλληνες στοχαστές αντιλήφθηκαν τις μεγάλες δυσκολίες που ενυπάρχουν εγγενώς στις μαθηματικές έννοιες της συνέχειας, της κίνησης και του απείρου, και στο πρόβλημα της μέτρησης οποιωνδήποτε ποσοτήτων μέσω δεδομένων μονάδων. Σε μια αξιοθαύμαστη προσπάθεια, ανταποκρίθηκαν στην πρόκληση, και το αποτέλεσμα, η θεωρία του γεωμετρικού συνεχούς του Ευδόξου, είναι ένα επίτευγμα με το οποίο μπορεί να συγκριθεί μόνο η σύγχρονη θεωρία των άρρητων αριθμών, που αναπτύχθηκε πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια αργότερα. Η παραγωγική-αξιωματική τάση στα μαθηματικά αναδύθηκε την εποχή του Ευδόξου, και αποκρυσταλλώθηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη.

Ωστόσο, ενώ η θεωρητική και αξιωματική τάση των ελληνικών μαθηματικών παραμένει ένα από τα σημαντικά χαρακτηριστικά τους και έχει ασκήσει τεράστια επίδραση, θα πρέπει επίσης να υπογραμμιστεί ότι η εφαρμογή και η σύνδεση με τη φυσική πραγματικότητα έπαιξε εξίσου σημαντικό ρόλο στα μαθηματικά της αρχαιότητας, και ότι σε πολλές περιπτώσεις προτιμήθηκε ένας τρόπος παρουσίασης λιγότερο αυστηρός από εκείνον του Ευκλείδη.

Είναι πιθανό η πρώιμη ανακάλυψη των δυσκολιών που συνδέονται με τις «ασύμμετρες» ποσότητες να απέτρεψε τους Έλληνες να αναπτύξουν την τέχνη των αριθμητικών υπολογισμών που είχε επιτευχθεί προηγουμένως στην Ανατολή. Αντ' αυτού, χάραξαν σθεναρά τη δική τους πορεία μέσα από το δάσος της αξιωματικής γεωμετρίας. Με τον τρόπο αυτό ξεκίνησε μία από τις παράξενες παρακάμψεις της ιστορίας της επιστήμης, και ενδεχομένως χάθηκε μια σπουδαία ευκαιρία. Για σχεδόν δύο χιλιάδες χρόνια, το βάρος της ελληνικής γεωμετρικής παράδοσης καθυστέρησε την αναπόφευκτη εξέλιξη της έννοιας του αριθμού και του αλγεβρικού χειρισμού, η οποία στη συνέχεια αποτέλεσε τη βάση των σύγχρονων θετικών επιστημών.

Μετά από μια περίοδο αργής προετοιμασίας, η επανάσταση στα μαθηματικά και στις θετικές επιστήμες πέρασε σε μια δυναμική φάση τον δέκατο έβδομο αιώνα με την αναλυτική γεωμετρία και τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό. Ενώ η ελληνική γεωμετρία διατήρησε τον σημαντικό της ρόλο, το ελληνικό ιδεώδες της αξιωματικής αποκρυστάλλωσης και της συστηματικής παραγωγής εξαφανίστηκε κατά τον δέκατο έβδομο και τον δέκατο όγδοο αιώνα. Ο λογικά επακριβής συλλογισμός, με αφετηρία σαφείς ορισμούς και μη αντιφατικά, «προφανή» αξιώματα, φαινόταν επουσιώδης στους νέους πρωτοπόρους της μαθηματικής επιστήμης. Σε ένα πραγματικό όργιο διαισθητικής εικασίας, αδιάσειστων συλλογισμών συνυφασμένων με παράλογο μυστικισμό, με μια τυφλή πίστη στην υπερφυσική δύναμη της τυπικής διαδικασίας, οι πρωτοπόροι αυτοί κατέκτησαν έναν μαθηματικό κόσμο με αμύθητα πλούτη. Σταδιακά, η έκσταση της προόδου υποχώρησε μπροστά σε ένα πνεύμα κριτικού αυτο-ελέγχου. Κατά τον δέκατο ένατο αιώνα, η έμφυτη ανάγκη για εμπέδωση και η επιθυμία για περισσότερη ασφάλεια στην επέκταση της ανώτατης εκπαίδευσης η οποία ωθήθηκε από τη Γαλλική Επανάσταση, οδήγησε αναπόφευκτα σε μια αναθεώρηση των θεμελίων των νέων μαθηματικών, και ιδιαίτερα του διαφορικού και του ολοκληρωτικού λογισμού και της υποκείμενης έννοιας του ορίου. Έτσι, ο δέκατος ένατος αιώνας όχι μόνο έγινε μια περίοδος νέων προόδων, αλλά χαρακτηρίστηκε επίσης από μια επιτυχημένη επιστροφή στο κλασικό ιδεώδες της ακρίβειας και της αυστηρής απόδειξης. Από αυτή την πλευρά, υπερέβη ακόμα και το μοντέλο της ελληνικής επιστήμης. Για μία ακόμη φορά το εκκρεμές κινήθηκε προς την πλευρά της λογικής καθαρότητας και αφαίρεσης. Αυτή τη στιγμή, απ' ό,τι φαίνεται εξακολουθούμε να βρισκόμαστε σε αυτή την περίοδο, παρότι μπορούμε να ελπίζουμε πως ο επακόλουθος ατυχής διαχωρισμός ανάμεσα στα καθαρά μαθηματικά και τις ζωτικές εφαρμογές, ίσως αναπόφευκτος σε εποχές κριτικής αναθεώρησης, θα ακολουθηθεί από μια περίοδο εγγύτερης ενότητας. Η ανακτηθείσα εσωτερική ισχύς και, πάνω από όλα, η τεράστια απλούστευση που επιτεύχθηκε στη βάση της σαφέστερης κατανόησης επιτρέπουν στην εποχή μας να εμπεδωθεί η μαθηματική θεωρία χωρίς να χαθεί η επαφή με τις εφαρμογές. Το να εδραιωθεί για μία ακόμα φορά μια οργανική ένωση ανάμεσα στην καθαρή και την εφαρμοσμένη επιστήμη και μια στέρεη ισορροπία ανάμεσα στην αφηρημένη γενικότητα και την πολύχρωμη ατομικότητα μπορεί κάλλιστα να είναι το υπέρτατο καθήκον των μαθηματικών για το άμεσο μέλλον.

Η εισαγωγή αυτή δεν είναι το κατάλληλο σημείο για μια λεπτομερή φιλοσοφική ή ψυχολογική ανάλυση των μαθηματικών. Θα πρέπει να τονίσουμε μόνο λίγα σημεία. Η επικρατούσα υπερβάλλουσα έμφαση στον παραγωγικό-αξιωματικό χαρακτήρα των μαθηματικών φαίνεται να εγκυμονεί έναν μεγάλο κίνδυνο. Είναι αλήθεια πως το στοιχείο της κατασκευαστικής επινόησης, της κατευθύνουσας και παρακινούσας διαίσθησης, τείνει να διαφεύγει μιας απλής φιλοσοφικής διατύπωσης· ωστόσο, παραμένει ο πυρήνας οποιουδήποτε μαθηματικού επιτεύγματος, ακόμα και στα πιο αφηρημένα πεδία. Αν ο στόχος είναι η αποκρυσταλλωμένη παραγωγική μορφή, η διαίσθηση και η κατασκευή είναι τουλάχιστον οι κινούσες δυνάμεις. Στον ισχυρισμό πως τα μαθηματικά δεν είναι παρά ένα σύστημα συμπερασμάτων που απορρέουν από ορισμούς και αξιώματα που θα πρέπει να είναι συνεπή αλλά κατά τ' άλλα μπορούν να δημιουργούνται από την ελεύθερη βούληση του μαθηματικού ελλοχεύει μια σοβαρή απειλή για την ίδια τη ζωή της επιστήμης. Αν η περιγραφή αυτή ήταν ακριβής, τα μαθηματικά δεν θα μπορούσαν να προσελκύσουν κανέναν ευφυή άνθρωπο. Θα ήταν ένα παιχνίδι με ορισμούς, κανόνες και συλλογισμούς, χωρίς κίνητρο ή στόχο. Η αντίληψη πως η διάνοια μπορεί να δημιουργεί ουσιώδη αξιωματικά συστήματα κατά βούληση είναι μια παραπλανητική μισή αλήθεια. Μόνο κάτω από την πειθαρχία της υπευθυνότητας προς το οργανικό σύνολο, μόνο καθοδηγούμενος από την εγγενή αναγκαιότητα, μπορεί ο ελεύθερος νους να επιτύχει αποτελέσματα επιστημονικής αξίας.

Ενώ η στοχαστική τάση της λογικής ανάλυσης δεν αντιπροσωπεύει το σύνολο των μαθηματικών, έχει οδηγήσει σε μια βαθύτερη κατανόηση των μαθηματικών δεδομένων και της αλληλεξάρτησής τους, και σε μια σαφέστερη αντίληψη της ουσίας των μαθηματικών εννοιών. Από αυτήν έχει αναπτυχθεί μια σύγχρονη οπτική στα μαθηματικά, η οποία είναι χαρακτηριστική μιας παγκόσμιας επιστημονικής στάσης.

Όποια και αν είναι η φιλοσοφική μας στάση, για όλους τους σκοπούς της επιστημονικής παρατήρησης ένα αντικείμενο εξαντλείται στην ολότητα των δυνατών σχέσεων με το προσλαμβάνον υποκείμενο ή όργανο. Φυσικά, η απλή πρόσληψη δεν συνιστά γνώση και ουσιαστική αντίληψη· πρέπει να συντονίζεται και να ερμηνεύεται σε σχέση με κάποια υποκείμενη οντότητα, ένα «πράγμα καθαυτό», το οποίο δεν αποτελεί αντικείμενο άμεσης φυσικής παρατήρησης, αλλά ανήκει στη μεταφυσική. Ωστόσο, για την επιστημονική διαδικασία είναι σημαντικό να απορρίπτονται τα στοιχεία μεταφυσικού χαρακτήρα και να θεωρούνται τα παρατηρήσιμα γεγονότα πάντα ως η έσχατη πηγή των εννοιών και των κατασκευών. Η παραίτηση από τον στόχο της κατανόησης του «πράγματος καθαυτό», της γνώσης της «έσχατης αλήθειας», της διαλεύκανσης της εσώτατης ουσίας του κόσμου, μπορεί να αποτελεί ψυχολογική δοκιμασία για τους αφελείς ζηλωτές, αλλά στην πραγματικότητα ήταν μία από τις πιο γόνιμες στροφές στη σύγχρονη σκέψη.

Κάποια από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της φυσικής έχουν προκύψει ως ανταμοιβή για τη θαρραλέα τήρηση της αρχής της εξάλειψης της μεταφυσικής. Όταν ο Αϊνστάιν προσπάθησε να αναγάγει την έννοια των «ταυτόχρονων γεγονότων που συμβαίνουν σε διαφορετικές θέσεις» σε παρατηρήσιμα φαινόμενα, όταν αποκάλυψε ως μεταφυσική προκατάληψη την πεποίθηση ότι αυτή η έννοια πρέπει να έχει επιστημονικό νόημα καθ' εαυτή, είχε βρει το κλειδί για τη θεωρία της σχετικότητας. Όταν ο Niels Bohr και οι μαθητές του ανέλυσαν το γεγονός ότι κάθε φυσική παρατήρηση πρέπει να συνοδεύεται από μια επίδραση του οργάνου παρατήρησης στο παρατηρούμενο αντικείμενο, έγινε σαφές ότι ο ακριβής ταυτόχρονος προσδιορισμός της θέσης και της ταχύτητας ενός σωματιδίου δεν είναι δυνατός με την έννοια της φυσικής. Οι ευρύτατες συνέπειες αυτής της ανακάλυψης, που ενσωματώνονται στη σύγχρονη Θεωρία της κβαντομηχανικής, είναι πλέον γνωστές σε κάθε φυσικό. Τον δέκατο ένατο αιώνα επικρατούσε η αντίληψη πως οι μηχανικές δυνάμεις και οι κινήσεις των σωματιδίων στον χώρο είναι πράγματα καθ' εαυτά, ενώ ο ηλεκτρισμός, το φως και ο μαγνητισμός θα έπρεπε να ανάγονται σε μηχανικά φαινόμενα ή να «εξηγούνται» ως τέτοια, όπως ακριβώς είχε γίνει με τη θερμότητα. Ο «αιθέρας» επινοήθηκε ως ένα υποθετικό μέσο ικανό για ατελώς εξηγημένες μηχανικές κινήσεις που εμφανίζονται σε εμάς ως φως ή ηλεκτρισμός. Σταδιακά έγινε αντιληπτό πως ο αιθέρας είναι αναγκαστικά μη παρατηρήσιμος· ότι ανήκει στη μεταφυσική και όχι στη φυσική. Με λύπη σε ορισμένους κύκλους, με ανακούφιση σε άλλους, οι μηχανικές εξηγήσεις του φωτός και του ηλεκτρισμού, και μαζί τους ο αιθέρας, τελικά εγκαταλείφθηκαν.

Μια παρόμοια κατάσταση, ακόμη πιο ακραία, υπάρχει στα μαθηματικά. Ανά τους αιώνες, οι μαθηματικοί θεωρούσαν τα αντικείμενά τους, όπως τους αριθμούς, τα σημεία, κ.λπ., ως ουσιώδη πράγματα καθ' εαυτά. Καθώς αυτές οι οντότητες πάντοτε αψηφούσαν τις προσπάθειες για επαρκή περιγραφή, σταδιακά έγινε αντιληπτό στους μαθηματικούς του δέκατου ένατου αιώνα πως το ζήτημα της σημασίας αυτών των αντικειμένων ως ουσιωδών πραγμάτων δεν έχει νόημα εντός των μαθηματικών, αν έχει καν νόημα. Οι μόνοι ουσιαστικοί ισχυρισμοί σχετικά με αυτά δεν αναφέρονται στην ουσιαστική πραγματικότητα· δηλώνουν μόνο τις διασυνδέσεις ανάμεσα σε μαθηματικά «απροσδιό\-ριστα αντικείμενα» και τους κανόνες που διέπουν τις πράξεις με αυτά. Το τι «πραγματικά» είναι τα σημεία, οι ευθείες, οι αριθμοί δεν μπορεί και δεν χρειάζεται να εξεταστεί στη μαθηματική επιστήμη. Αυτό που έχει σημασία και αυτό που αντιστοιχεί σε «επαληθεύσιμο» γεγονός είναι η δομή και η σχέση - ότι δύο σημεία ορίζουν μια ευθεία, ότι οι αριθμοί συνδυάζονται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες για να σχηματίσουν άλλους αριθμούς, κ.λπ. Ένα από τα πιο σημαντικά και γόνιμα αποτελέσματα της σύγχρονης αξιωματικής ανάπτυξης υπήρξε η σαφής αντίληψη σχετικά με την αναγκαιότητα της αποϋλοποίησης των στοιχειωδών μαθηματικών εννοιών.

Ευτυχώς, τα δημιουργικά πνεύματα ξεχνούν τις δογματικές φιλοσοφικές πεποιθήσεις κάθε φορά που η προσκόλληση σε αυτές θα εμπόδιζε τη δημιουργική επίτευξη. Τόσο για τους λόγιους όσο και για τους μη ειδικούς, δεν είναι η φιλοσοφία αλλά μόνο η ενεργός εμπειρία στα ίδια τα μαθηματικά που μπορεί να απαντήσει στο ερώτημα: Τι είναι τα μαθηματικά;

Ο Richard Courant (1888–1972) ήταν ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα και ιδρυτής του περίφημου Courant Institute στο Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης (NYU). Έγινε παγκοσμίως γνωστός για τη συνεισφορά του στις διαφορικές εξισώσεις και τις μεθόδους εφαρμοσμένων μαθηματικών, αλλά και για την ικανότητά του να εξηγεί σύνθετες έννοιες με απλότητα.

Ο Herbert Robbins (1915–2001) ήταν Αμερικανός μαθηματικός και στατιστικολόγος με σημαντική συμβολή στη στατιστική (θεωρία Robbins-Monro) και στην τοπολογία και τις πιθανότητες.

Ο Ian Stewart είναι Βρετανός μαθηματικός, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Warwick και ένας από τους πιο χαρισματικούς εκλαϊκευτές της επιστήμης στην εποχή μας.

Σχετικά προϊόντα